שיעור 48: פתרון בגרות 2016 מועד ב

פרק 4: תרגול בגרויות 481-4 יחידות

1🔵 סעיף א: משוואת האלכסון AC (אלכסונים מאונכים בריבוע)

2🟢 סעיף ב: משוואת המעגל החוסם את הריבוע

3🟣 סעיף ג: אורך צלע הריבוע בעזרת משפט פיתגורס

4🔷 סעיף ד: רדיוס המעגל החסום בריבוע

📄 נוסח השאלה

אלכסוני הריבוע ABCD נפגשים בנקודה M (ראה ציור). שיעורי הקודקוד A הם (5,5). משוואת האלכסון BD היא y=−13x.

א. מצא את משוואת האלכסון AC.

ב. מצא את משוואת המעגל החוסם את הריבוע.

ג. חשב את האורך של צלע הריבוע.

ד. חשב את אורך הרדיוס של המעגל החסום בריבוע (ראה ציור).

🔵 סעיף א: משוואת האלכסון AC (אלכסונים מאונכים בריבוע)

מצא את משוואת האלכסון AC.

בריבוע האלכסונים מאונכים זה לזה ← השיפועים הופכיים ונגדיים.

m_BD=−13 ← m_AC=3

A(5,5)=(x₁,y₁)

y−y₁=m(x−x₁)

y−5=3(x−5)

y−5=3x−15

✅ y=3x−10

🟢 סעיף ב: משוואת המעגל החוסם את הריבוע

מצא את משוואת המעגל החוסם את הריבוע.

מרכז המעגל החוסם ריבוע הוא נקודת מפגש האלכסונים – M. משווים בין AC ל־BD:

3x−10=−13x

313x=10

x=3 ← y=3·3−10=−1

M=(a,b)=(3,−1)

AC קוטר (זווית של 90° נשענת על הקוטר), לכן AM=R:

M(3,−1)=(x₁,y₁)

A(5,5)=(x₂,y₂)

R=√(5−3)²+(5+1)²

R=√4+36=√40

✅ (x−3)²+(y+1)²=40

🟣 סעיף ג: אורך צלע הריבוע בעזרת משפט פיתגורס

חשב את האורך של צלע הריבוע.

האלכסונים חוצים זה את זה ומאונכים, לכן במשולש ABM: AM=BM=R=√40 ו־∢M=90°.

משפט פיתגורס: a²+b²=c²

(√40)²+(√40)²=AB²

40+40=AB²

✅ AB=√80

🔷 סעיף ד: רדיוס המעגל החסום בריבוע

חשב את אורך הרדיוס של המעגל החסום בריבוע (ראה ציור).

AD משיק למעגל החסום, ובין משיק לרדיוס יש 90° – לכן הקוטר של המעגל הקטן מקביל ל־AB ושווה לו (נוצר מלבן).

הרדיוס – מ־M עד נקודת ההשקה – הוא חצי מ־AB:

r=√802

✅ r=√802

📌 לזכור

💡 בריבוע האלכסונים מאונכים, שווים וחוצים זה את זה; המרכז של המעגל החוסם וגם של המעגל החסום הוא מפגש האלכסונים.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא